この記事の移植です。
科学するミックスボイス 2: TA筋とCT筋｜moni はじめに 第 2 章では TA 筋と CT 筋が及ぼす声の周波数および声質について論じます。第 1 章を読んでいない方は先にご覧ください。
この章では大学 1 年程度の数学を扱います。使うのは常微分方程式と行列計算くらいなので、数学や物理が得意な高校生であれば読めるくらいの内容かと思います。 1. 質量-ばね-ダンパー系 (Mass-spring-damper model) まずは下準備として質量-ばね-ダンパー系について簡単に触れます。ばねはフックの法則に従い$${-kx}$$の力が質量に作用します。ダンパーは質量の速度に比例する抵抗力が生じ$${-c\dot{x}}$$ note（ノート） はじめに
第 2 章では TA 筋と CT 筋が及ぼす声の周波数および声質について論じます。第 1 章を読んでいない方は先にご覧ください。
科学するミックスボイス 1. 解剖生理学 この記事の移植です。 「ミックスボイス (mixed voice) ってどうやったら習得できるの？」と AI に聞くと、「TA 筋と CT 筋のバランス」と「フォーマントチューニング」が必要と返答されました。しかし筆者はド理系のため、何故… moni's page この章では大学 1 年程度の数学を扱います。使うのは常微分方程式と行列計算くらいなので、数学や物理が得意な高校生であれば読めるくらいの内容かと思います。
1. 質量-ばね-ダンパー系 (Mass-spring-damper model)
まずは下準備として質量-ばね-ダンパー系について簡単に触れます。ばねはフックの法則に従い − k x -kx − k x − c x ˙ -c\dot{x} − c x ˙
× mass spring damper model (Wikipedia より引用) この系にかかる外力を F ext F_\text{ext} F ext
m x ¨ = − k x − c x ˙ + F ext m \ddot{x} = -kx -c\dot{x} + F_\text{ext} m x ¨ = − k x − c x ˙ + F ext これを式変形することで標準形
x ¨ + 2 ζ ω + ω 2 x = u \ddot{x} + 2\zeta \omega + \omega^2x = u x ¨ + 2 ζ ω + ω 2 x = u を得ます。ただし
ω = k m \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} ω = m k ζ = c 2 m k \zeta = \dfrac{c}{2\sqrt{mk}} ζ = 2 mk c u = F ext m u = \dfrac{F_\text{ext}}{m} u = m F ext
です。F ext = 0 F_\text{ext}=0 F ext = 0 x = x ( t ) x=x(t) x = x ( t )
x ( t ) = A e − ω t ( ζ + ζ 2 − 1 ) + B e − ω t ( ζ − ζ 2 − 1 ) x(t) = Ae^{-\omega t \left( \zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1} \right)} + Be^{-\omega t \left( \zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1} \right)} x ( t ) = A e − ω t ( ζ + ζ 2 − 1 ) + B e − ω t ( ζ − ζ 2 − 1 ) となります。ζ \zeta ζ 1 1 1 x ( t ) x(t) x ( t ) ζ ≪ 1 \zeta \ll 1 ζ ≪ 1 ζ 2 − 1 \sqrt{\zeta^2-1} ζ 2 − 1
x ( t ) = C e − ζ ω t cos ( 1 − ζ 2 ω t + ϕ ) x(t) = Ce^{-\zeta\omega t} \cos(\sqrt{1-\zeta^2} \omega t + \phi) x ( t ) = C e − ζ ω t cos ( 1 − ζ 2 ω t + ϕ ) となります。特に摂動のない(c = 0 c=0 c = 0 x ( t ) = C cos ( ω t + ϕ ) x(t) = C \cos(\omega t + \phi) x ( t ) = C cos ( ω t + ϕ ) 1 − ζ 2 \sqrt{1 - \zeta^2} 1 − ζ 2 e − ζ ω t e^{-\zeta \omega t} e − ζ ω t
2. 声帯の物理モデル
2-1. カバーボディモデル (Cover-Body Model)
声帯の物理モデルの 1 つにカバーボディモデル (Cover-Body Model, by Minoru Hirano in 1974) があります。以下の画像のように声帯をカバーとボディの 2 つの層がばねで接合され、それぞれの層が質量-ばね-ダンパー系に従うというものです。
× B. Story "An overview of the physiology, physics and modeling of the sound source for vowels" より引用 カバー、ボディそれぞれの運動方程式は以下のようになります:
m c x ¨ c = − r c x ˙ c − k c x c − k c b ( x c − x b ) = F c ( t ) m b x ¨ b = − r b x ˙ b − k b x b − k c b ( x b − x c ) = F b ( t ) \begin{aligned}
m_c\ddot{x}_c &= -r_c\dot{x}_c-k_cx_c-k_{cb}(x_c - x_b) = F_c(t) \\
m_b\ddot{x}_b &= -r_b\dot{x}_b-k_bx_b-k_{cb}(x_b - x_c) = F_b(t)
\end{aligned} m c x ¨ c m b x ¨ b = − r c x ˙ c − k c x c − k c b ( x c − x b ) = F c ( t ) = − r b x ˙ b − k b x b − k c b ( x b − x c ) = F b ( t ) 記法のほとんどは説明しなくても伝わると思いますが、k c b k_{cb} k c b x = ( x c x b ) x=\begin{pmatrix} x_c \\ x_b \end{pmatrix} x = ( x c x b )
M x ¨ + R x ˙ + K x = F ( t ) M\ddot{x} + R\dot{x} + Kx = F(t) M x ¨ + R x ˙ + K x = F ( t ) を得ます。ただし
M = ( m c 0 0 m b ) M=\begin{pmatrix} m_c & 0 \\ 0 & m_b \end{pmatrix} M = ( m c 0 0 m b ) R = ( r c 0 0 r b ) R=\begin{pmatrix} r_c & 0 \\ 0 & r_b \end{pmatrix} R = ( r c 0 0 r b ) K = ( k c + k c b − k c b − k c b k b + k c b ) K=\begin{pmatrix} k_c + k_{cb} & -k_{cb} \\ -k_{cb} & k_b + k_{cb} \end{pmatrix} K = ( k c + k c b − k c b − k c b k b + k c b ) F ( t ) = ( F c ( t ) F b ( t ) ) F(t)=\begin{pmatrix} F_c(t) \\ F_b(t) \end{pmatrix} F ( t ) = ( F c ( t ) F b ( t ) )
です。
2-2. 固有振動数
前述の通り R R R R ≈ 0 R \approx 0 R ≈ 0 F ( t ) = 0 F(t)=0 F ( t ) = 0
M x ¨ + K x = 0 M\ddot{x} + Kx = 0 M x ¨ + K x = 0 となります。フーリエ変換によって異なる角周波数の波の重ね合わせで表現できる前提に立つと、それぞれの角周波数がこの方程式を満たすかを考えればよいです。調和振動 v ( t ) = v e i ω t , v ∈ C 2 v(t) = v e^{i \omega t}, \, v \in \mathbb{C}^2 v ( t ) = v e iω t , v ∈ C 2
− ω 2 M v e i ω t + K v e i ω t = 0 ∴ ( K − ω 2 M ) v = 0 \begin{align*}-\omega^2Mv e^{i \omega t} +Kve^{i \omega t} &= 0 \\\therefore (K - \omega^2 M)v &= 0\end{align*} − ω 2 M v e iω t + K v e iω t ∴ ( K − ω 2 M ) v = 0 = 0 となり、ω 2 , v \omega^2, v ω 2 , v M − 1 K M^{-1}K M − 1 K λ = ω 2 \lambda = \omega^2 λ = ω 2 det ( K − λ M ) = 0 \det(K - \lambda M) = 0 det ( K − λ M ) = 0
det ( k c + k c b − λ m c − k c b − k c b k b + k c b − λ m b ) = 0 ⟺ λ 2 − ( ω c 2 + ω b 2 ) λ + ω c 2 ω b 2 − κ 2 = 0 ⟺ λ ± = ω ± 2 = ω c 2 + ω b 2 ± ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 2 \begin{align*}& \det \begin{pmatrix} k_c + k_{cb} - \lambda m_c & -k_{cb} \\ -k_{cb} & k_{b} + k_{cb} - \lambda m_b \end{pmatrix} = 0 \\\iff & \lambda^2 - (\omega_c^2 + \omega_b^2) \lambda + \omega_c^2 \omega_b^2 - \kappa^2 = 0 \\\iff & \lambda_\pm = \omega_\pm^2 = \dfrac{\omega_c^2 + \omega_b^2 \pm \sqrt{(\omega_c^2-\omega_b^2)^2 + 4 \kappa^2}}{2}\end{align*} ⟺ ⟺ det ( k c + k c b − λ m c − k c b − k c b k b + k c b − λ m b ) = 0 λ 2 − ( ω c 2 + ω b 2 ) λ + ω c 2 ω b 2 − κ 2 = 0 λ ± = ω ± 2 = 2 ω c 2 + ω b 2 ± ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 となります。ただし
ω c 2 = k c + k c b m c \omega_c^2 = \dfrac{k_c + k_{cb}}{m_c} ω c 2 = m c k c + k c b ω b 2 = k b + k c b m b \omega_b^2 = \dfrac{k_b + k_{cb}}{m_b} ω b 2 = m b k b + k c b κ 2 = k c b 2 m c m b \kappa^2 = \dfrac{k_{cb}^2}{m_cm_b} κ 2 = m c m b k c b 2
です。特に 0 < ω − 2 < ω + 2 0 < \omega_-^2 < \omega_+^2 0 < ω − 2 < ω + 2 ω − \omega_- ω − f 0 f_0 f 0 2 π 2\pi 2 π
2-3. 固有ベクトル
これらに対応する固有ベクトル v = ( v c v b ) v = \begin{pmatrix} v_c \\ v_b \end{pmatrix} v = ( v c v b ) ( K − ω 2 M ) v = 0 (K - \omega^2M)v=0 ( K − ω 2 M ) v = 0
v b v c = k c + k c b − ω 2 m c k c b = ω c 2 − ω 2 κ m c m b \dfrac{v_b}{v_c} = \dfrac{k_c + k_{cb} - \omega^2m_c}{k_{cb}} = \dfrac{\omega_c^2 - \omega^2}{\kappa} \sqrt{\dfrac{m_c}{m_b}} v c v b = k c b k c + k c b − ω 2 m c = κ ω c 2 − ω 2 m b m c となり、特に v b v c ∈ R \dfrac{v_b}{v_c} \in \mathbb{R} v c v b ∈ R
ω c 2 − ω − 2 = 1 2 { ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 + ( ω c 2 − ω b 2 ) } > 0 ω c 2 − ω + = − 1 2 { ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 − ( ω c 2 − ω b 2 ) } < 0 \begin{align*}\omega_c^2 - \omega_-^2 &= & \dfrac12 & \left\lbrace \sqrt{(\omega_c^2 - \omega_b^2)^2 + 4\kappa^2} + (\omega_c^2 - \omega_b^2) \right\rbrace & &> 0 \\\omega_c^2 - \omega_+ &= & - \dfrac12 &\left\lbrace \sqrt{(\omega_c^2 - \omega_b^2)^2 + 4\kappa^2} - (\omega_c^2 - \omega_b^2) \right\rbrace & &< 0 \\\end{align*} ω c 2 − ω − 2 ω c 2 − ω + = = 2 1 − 2 1 { ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 + ( ω c 2 − ω b 2 ) } { ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 − ( ω c 2 − ω b 2 ) } > 0 < 0 となるため、ω = ω − \omega=\omega_- ω = ω − v c , v b v_c, v_b v c , v b ω = ω + \omega=\omega_+ ω = ω + f 0 f_0 f 0
f 0 = 1 2 π ω c 2 + ω b 2 − ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 2 f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\omega_c^2 + \omega_b^2 - \sqrt{(\omega_c^2-\omega_b^2)^2 + 4 \kappa^2}}{2}} f 0 = 2 π 1 2 ω c 2 + ω b 2 − ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 で与えられることがわかります。
2-4. 声質 (Voice quality)
声質 Q ∈ ( 0 , 1 ] Q \in \left(0, 1 \right] Q ∈ ( 0 , 1 ]
Q : = ω − ω + Q := \dfrac{\omega_-}{\omega_+} Q := ω + ω − と定義します。これが声質を表す指標であることを以下で説明します。
D = ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 D = \sqrt{(\omega_c^2 - \omega_b^2)^2+4\kappa^2} D = ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 ω + 2 = ω − 2 + D \omega_+^2 = \omega_-^2+D ω + 2 = ω − 2 + D
Q = 1 1 + D / ω − 2 Q = \dfrac{1}{\sqrt{1 + D / \omega_-^2}} Q = 1 + D / ω − 2 1 となります。 ω − \omega_- ω − D D D Q Q Q Q Q Q D D D D D D ω c , ω b \omega_c, \omega_b ω c , ω b ∣ ω c − ω b ∣ |\omega_c - \omega_b| ∣ ω c − ω b ∣ κ 2 = k c b 2 m c m b \kappa^2 = \dfrac{k_{cb}^2}{m_cm_b} κ 2 = m c m b k c b 2 D ≥ 2 κ D \ge 2\kappa D ≥ 2 κ ω c = ω b \omega_c = \omega_b ω c = ω b Q Q Q
Q ≤ Q max : = 1 1 + 2 κ / ω − 2 Q \le Q_{\max} := \dfrac{1}{\sqrt{1 + 2\kappa/\omega_-^2}} Q ≤ Q m a x := 1 + 2 κ / ω − 2 1 が得られます。最後に調離が小さいことが声質を高める理由について、ω = ω ± \omega = \omega_\pm ω = ω ±
A cos ( ω − t ) + B cos ( ω + t ) = ( A − B ) cos ( ω − t ) + B ( cos ( ω − t ) + cos ( ω + t ) ) = ( A − B ) cos ( ω − t ) + 2 B cos ( ω + − ω − 2 t ) cos ( ω + + ω − 2 t ) \begin{align*}& A\cos(\omega_-t) + B\cos(\omega_+t) \\ = & (A-B)\cos(\omega_-t) + B \left( \cos(\omega_-t) + \cos(\omega_+t) \right) \\= & (A-B)\cos(\omega_- t) + 2B\cos\left(\dfrac{\omega_+ - \omega_-}{2}t \right) \cos\left( \dfrac{\omega_++\omega_-}{2}t \right)\end{align*} = = A cos ( ω − t ) + B cos ( ω + t ) ( A − B ) cos ( ω − t ) + B ( cos ( ω − t ) + cos ( ω + t ) ) ( A − B ) cos ( ω − t ) + 2 B cos ( 2 ω + − ω − t ) cos ( 2 ω + + ω − t ) となります。ただし A ≥ B A \ge B A ≥ B ω ˉ = ω + + ω − 2 \bar{\omega}=\dfrac{\omega_+ + \omega_-}{2} ω ˉ = 2 ω + + ω − Δ ω = ω + − ω − 2 \Delta \omega = \dfrac{\omega_+ - \omega_-}{2} Δ ω = 2 ω + − ω − 2 B cos ( Δ ω t ) 2B\cos(\Delta \omega t) 2 B cos ( Δ ω t ) ω − , ω + \omega_-, \omega_+ ω − , ω + ω + 2 = ω − 2 + D \omega_+^2 = \omega_-^2+D ω + 2 = ω − 2 + D ∣ ω c − ω b ∣ |\omega_c - \omega_b| ∣ ω c − ω b ∣
以上のことから Q ∈ ( 0 , 1 ] Q \in \left(0, 1 \right] Q ∈ ( 0 , 1 ] Q Q Q ∣ ω c − ω b ∣ |\omega_c - \omega_b| ∣ ω c − ω b ∣ Q Q Q
3. TA筋とCT筋
色々と数式を捏ね繰り回しましたが、発声においてできること、つまり調整可能な物理量というのは基本的に k c , k b k_c, k_b k c , k b
TA 筋の収縮: ボディを固くする( k b k_b k b
CT 筋の収縮: カバーを固くする( k c k_c k c
ため、調整された声帯とその結果発せられる声の対応は写像 F : ( k c , k b ) ↦ ( f 0 , Q ) F:(k_c, k_b) \mapsto (f_0, Q) F : ( k c , k b ) ↦ ( f 0 , Q )
f 0 = 1 2 π ω c 2 + ω b 2 − ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 2 f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\omega_c^2 + \omega_b^2 - \sqrt{(\omega_c^2-\omega_b^2)^2 + 4 \kappa^2}}{2}} f 0 = 2 π 1 2 ω c 2 + ω b 2 − ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 Q = 1 1 + ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 ( 2 π f 0 ) 2 Q = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{\sqrt{(\omega_c^2 - \omega_b^2)^2+4\kappa^2}}{(2 \pi f_0)^2}}} Q = 1 + ( 2 π f 0 ) 2 ( ω c 2 − ω b 2 ) 2 + 4 κ 2 1 ω c = k c + k c b m c \omega_c = \sqrt{\dfrac{k_c + k_{cb}}{m_c}} ω c = m c k c + k c b ω b = k b + k c b m b \omega_b = \sqrt{\dfrac{k_b + k_{cb}}{m_b}} ω b = m b k b + k c b κ = k c b m c m b \kappa = \dfrac{k_{cb}}{\sqrt{m_cm_b}} κ = m c m b k c b
歌とは時刻 t t t f = f ( t ) f = f(t) f = f ( t ) ( k c , k b ) (k_c, k_b) ( k c , k b ) γ = γ ( t ) \gamma = \gamma(t) γ = γ ( t ) F ∘ γ ( t ) F \circ \gamma(t) F ∘ γ ( t ) f ( t ) f(t) f ( t ) γ \gamma γ
高い声を出す(f 0 f_0 f 0 ω c , ω b \omega_c,\omega_b ω c , ω b ω c ≈ ω b \omega_c \approx \omega_b ω c ≈ ω b
Q ≈ Q max = 1 1 + 2 κ ( 2 π f 0 ) 2 → 1 ( f 0 → + ∞ ) Q \approx Q_{\max} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{2\kappa}{(2 \pi f_0)^2}}} \to 1 \qquad (f_0 \to +\infty) Q ≈ Q m a x = 1 + ( 2 π f 0 ) 2 2 κ 1 → 1 ( f 0 → + ∞ ) となり、これは直感的にはカバー-ボディ結合 κ \kappa κ
反対に片方の筋肉のみを収縮させる場合を考えます。TA 筋のみが収縮する場合には固くなったボディがカバーの振動に抵抗するように働き、結果として締め付けたような発声となり声質が低下します。CT 筋のみが収縮する場合には CT 筋のみが高速で振動する一方 TA 筋は弛緩しているため、細い声となり再び声質が低下します。
実際には声質には Q Q Q
おわりに
数学に不慣れな方は特にお疲れ様でした。これでフォーマントを議論する第 3 章を残すのみとなりましたが、残念なことに更に高度な数学が要求されます。覚悟が決まった方は、余力のあるときに覗いてみてください。
科学するミックスボイス 3. フォーマントチューニング この記事の移植です。 最終章である本章では、フォーマントと声の周波数がどのように歌いやすさに影響するのか、および声道の変化がどのようにフォーマントを変化させるかを数理的に解釈していきます。第 2 章とは独立していますが、第 1 章を読んで… moni's page 
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